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第686章 无尽路途不可达基数十分艰涩谨慎观看（第2页）

这些具备不同共尾数的各类世界基数，亦通常会被命名为带有各种复杂前缀名或者后缀名的称呼。

并且，被这些各级各阶每一个共尾数所‘统治’的庞大‘领土’之内的那些个各级各阶世界基数互相之间，亦会存在有无穷无尽复无尽无穷恐怖到无法言说无法形容的巨大差距。

而若想要跨越这一重又一重天渊之距，则又会牵涉到所谓「无界闭集」的数学概念。

关于此概念，还有一个较为简单的名为「无界集合」的前置型概念。

对于此概念若举例说明便是，譬如位于w范畴内的自然数在w中无界，又因w=n，所以n便是w的无界非真子集。（「无界」概念的具体定义详见677章）

既然存在‘非真’，那么就肯定会存在‘真’。

譬如，对任意n∈w仍有n+1∈w，无存最大自然数，所以全体正偶数便是w的真无界子集。

这个概念比较简单，但在此之上的「无界闭集」概念就要考虑的多…不是，是复杂的多了。

还是举例说明。

譬如，若c是x无界子集，对所有极限序数呈ax，只要a的上确界是a，就有a∈c，那么便可以说c是x的无界闭子集。

如果将这段话展开来讲，便可以认为对于那一系列a∈c所取的极限点，结果仍在c当中，也就是说c对于取极限点这一操作完全封闭，求取c中一系列元素的sup也仍然留存于c中。

所以，无界闭集的性质就像一把全无尽头的过滤网，可不断滤选出愈来愈极限的‘元素’，但却永远不会跑出集合范围。

总之，通过使用包括「无界闭集」在内的诸多‘工具’，沿着那贯穿一整个世界基数的漫长共尾数‘路径’，便可以直通不可达基数。

那么……不可达基数的共尾数，又会是什么呢？

答案便是……它自身。

是的，就如同神话传说当中代表着「永恒完美」「无限循环」以及「自有永有」等等至高概念的那一条用自己嘴巴咬住自己尾部类似莫比乌斯环带的衔尾之蛇一般，首个不可达基数其共尾数……赫然也是不可达基数。

首个不可达基数，即是一种在zfc公理系统模型基础上加上相应不可达基数公理后，才能够存在的既是强极限基数又是正则基数的不可数基数。

所谓正则基数，意指的便是共尾数等同于自身的基数。

用数学语言来表达，即是cf（k）=k。

这里的cf（k），便是以k为上确界的递增序列的最小长度。

cf可以定义在所有序数上，但正则序数却必然是基数。

至于强极限基数，若用数学语言表达便是……若αk，则2αk，那么k就是强极限基数。

这里的“”是基数乘方之意，因而此数式之意即是k无法通过小于k的基数取幂集来达到。

同理则可得，w即是一个强极限基数，因为有限集合之幂集必然还是有限集合。

又因为w也是正则基数，所以也可以说，倘若不要求「不可数」这一必要条件的话，那么w就属于是最小的不可达基数。

想想看，与w相比无论1还是scg（3）其实都没有什么分别，由此可见从那下方的自然数当中任意一点往上攀爬，都永远无法抵达w。

所以从正则性和极限性来看，w和w之下的一切有限数比起来，就等于是有与无的关系，完全属于概念上的断层。

当然，w和不可达基数相比只是某种意义上的‘明星脸’而已。

真正的不可达基数下方，是有着无界多世界基数层级的，远比想象之中还要更为遥远与深邃，强度亦是断层式的庞大。

许多知性生命都有一个极为不严谨的认知，即是认为……如果说w是阿拉伯数字堆不出来的上确界，那么首个不可达基数应该便是阿列夫函数堆不出来的上确界。

但这个认知是错误的，不可达基数远比这个认知要巨大的多的多的多。

若用真正的数学语言来表达，即是……对于极限序数α，有cf（?α）≤α，又因α≤?α，因此若?α为弱不可达基数，那么cf（?α）=α=?α。

至于更高的强不可达基数，则是在弱不可达基数的基础上，增加了一个条件或者说要求。

即是……对于任意基数λ＜k，有2λ＜k。

这列数式表达之意，便是若k为弱不可达基数，且满足上面要求，那么就可升为强不可达基数。

此话当中的「强弱」即指范围之意，「弱」指代的是要求低、范围广，「强」则指代的是更具体明确了为何该大基数不可到达。

由强不可达基数的定义便可知，它一定是弱不可达基数，即必然是正则且不可数的极限基数。

根据康托尔定理，对于任意基数λ，有λ＜2λ恒成立，这表示可通过不断取幂集之方式来获得更大的基数。

但不可达基数则是说，若k是强不可达基数，那么无论从比它小的哪一个基数λ＜k开始，无论如此取幂集2λ，都无法达到k。